下面给出 3 道题的核心条件。你的任务是把从条件到结论的每一步填出来，形成完整知识链。
每个空了对应一个定理或推理步骤。填完后对照提示逐层检查。
已知：四边形 $ABCD$ 中，$AB \parallel CD$，对角线 $AC$ 与 $BD$ 交于点 $O$，$AO:OC = 2:3$。
求：$\triangle AOB$ 与 $\triangle COD$ 的面积比。
请填写下面的知识链：
AB ∥ CD
↓ (用了什么定理？)
① ___
↓ (用了什么判定？)
② ___
↓ (相似比是多少？)
③ ___
↓ (面积比和相似比的关系？)
④ ___提示1：从"平行"出发
$AB \parallel CD$，且 $AC$、$BD$ 相交 $\to$ 找到哪两个三角形相似？
Hint: 平行线和两条相交直线构成"A字型"。
进阶提示：相似三角形→面积比
$\triangle AOB \sim \triangle COD$（AA），相似比 $= AO:OC = 2:3$。
注意：面积比 $\neq$ 相似比！面积比 $=$ 相似比$^2$。
完整知识链
```
AB ∥ CD
↓ (内错角相等：∠OAB = ∠OCD, ∠OBA = ∠ODC)
① ∠OAB = ∠OCD，∠OBA = ∠ODC
↓ (AA 相似判定)
② △AOB ∽ △COD
↓ (相似比 = AO:OC = 2:3)
③ 相似比 = 2:3
↓ (面积比 = 相似比²)
④ S△AOB : S△COD = (2/3)² = 4:9
```
答案：$\dfrac{4}{9}$
已知：平面直角坐标系中，$A(0,0)$，$B(6,0)$，$C(0,4)$。点 $P$ 在线段 $BC$ 上从 $B$ 向 $C$ 运动，设 $P$ 的横坐标为 $t$。求 $\triangle APQ$ 面积的最大值（$Q$ 为 $P$ 到 $x$ 轴的垂足）。
请填写知识链：
P 在 BC 上运动（动点）
↓
① 先求什么？___
↓
② 设参数 t，写出 P 的坐标：___
↓
③ Q 的坐标：___
↓
④ 表达底 AQ = ___，高 PQ = ___
↓
⑤ S(t) = ___（关于 t 的函数）
↓
⑥ 判断函数类型 → ___次函数
↓
⑦ 求最值的方法：___
↓
⑧ S_max = ___提示1：第一步做什么？
$P$ 在 $BC$ 上运动，首先要写出 $BC$ 所在直线的解析式，然后 $P(t, \text{解析式})$。
进阶提示：面积函数 → 二次函数最值
$S(t) = \frac{1}{2} \cdot t \cdot (-\frac{2}{3}t+4) = -\frac{1}{3}t^2 + 2t$。
开口向下的二次函数，对称轴 $t = 3$，在 $t \in [0,6]$ 范围内。
完整链
```
P 在 BC 上运动
↓ 求 BC 直线解析式
① BC: y = -⅔x + 4
↓ 设 P(t, y)
② P(t, -⅔t + 4), t ∈ [0,6]
↓ Q 是到 x 轴的垂足
③ Q(t, 0)
↓ 底 AQ = |t-0|, 高 PQ = |(-⅔t+4)-0|
④ 底 AQ = t, 高 PQ = -⅔t+4
↓ S = ½·底·高
⑤ S(t) = ½·t·(-⅔t+4) = -⅓t²+2t
↓ 二次项系数 -⅓ < 0
⑥ 开口向下的二次函数
↓ 对称轴 t = -b/(2a) = 3
⑦ t=3 ∈ [0,6], 最大值在对称轴处
↓ S(3) = -⅓·9+2·3 = -3+6
⑧ S_max = 3
```
已知：$\odot O$ 中，$AB$ 是直径，$C$ 在圆上，过 $C$ 的切线与 $AB$ 延长线交于 $D$。$AC:BC = 3:4$，$AB = 10$。求 $CD$。
请填写知识链：
AB 是直径，C 在圆上
↓
① ∠ACB = ___°
↓
② 在 Rt△ABC 中，AC:BC = 3:4, AB = 10
→ AC = ___, BC = ___
↓
③ 切线 CD → ∠OCD = ___°
↓
④ 找相似：△___ ∽ △___
↓
⑤ 列出比例式：___ = ___
↓
⑥ CD = ___提示1：两个条件的突破口
$AB$ 是直径 $\to \angle ACB = 90^\circ$。切线 $CD \to OC \perp CD$，$\angle OCD = 90^\circ$。两个 $90^\circ$ 同时出现，意味着什么？
进阶提示：两个90°→找相似
$\angle ACB = 90^\circ$，$\angle OCD = 90^\circ$。观察 $\triangle ABC$ 和 $\triangle ODC$——它们有一个公共角吗？$\angle A$ 和 $\angle COD$ 有什么关系？
完整知识链
```
AB 是直径，C 在圆上
↓ 直径所对圆周角是直角
① ∠ACB = 90°
↓ 勾股定理
② AC² + BC² = AB² = 100
AC:BC = 3:4 → 设 AC=3k, BC=4k
9k²+16k²=100 → 25k²=100 → k=2
AC = 6, BC = 8
↓ 切线⊥半径
③ ∠OCD = 90°（OC⊥CD）
↓ ∠ACB = ∠OCD = 90°
④ △ABC ∽ △ODC（∠A = ∠COD 同弧BC）
↓ 相似比
⑤ CD/BC = OC/AC → CD/8 = 5/6
↓
⑥ CD = 40/6 ≈ 6.67
```
（$OC = \frac{AB}{2} = 5$）
| 链 | 触发条件 | 链长 | 关键转折 |
|---|---|---|---|
| ① | $AB \parallel CD$ | 4步 | 面积比 $=$ 相似比$^2$ |
| ② | 动点+面积 | 8步 | 参数化 $\to$ 二次函数 $\to$ 对称轴 |
| ③ | 直径+切线 | 6步 | 两个 $90^\circ \to$ 相似三角形 |
知识连接的核心：不是记住知识点，而是把知识点串成链。 每一步都基于上一步的结论——就像多米诺骨牌，推倒第一块，后面自动倒。