题干：平面直角坐标系中，已知 $A(2,1)$，$B(6,5)$，$M$ 是线段 $AB$ 的中点。
看到"中点坐标"，你脑中弹出什么公式？
| 序号 | 你想到了什么 | 具体内容 |
|---|---|---|
| 1 | ___ | ___ |
| 2 | ___ | ___ |
提示1：已知两点坐标，中点坐标怎么求？
横纵坐标各自取平均值。
进阶提示：中点坐标公式 + 逆用
完整参考
| 序号 | 方法 | 结论 |
|---|---|---|
| 1 | 中点坐标公式 | $M(4, 3)$ |
| 2 | 逆用中点公式 | 已知中点和一端，求另一端 |
| 3 | 平行四边形 | 对角线互相平分 → 中点重合 |
核心链：两点坐标 → 横纵平均 → 中点 → 逆用→ 平行四边形对角线
题干：平面直角坐标系中，直线 $y = kx + b$ 经过 $A(1,3)$ 和 $B(4,9)$。
看到"一次函数过两点"，脑中弹出什么方法？
| 序号 | 你想到了什么 | 怎么做 |
|---|---|---|
| 1 | ___ | ___ |
| 2 | ___ | ___ |
| 3 | ___ | ___ |
提示1：一次函数 $y = kx + b$ 里 $k$ 和 $b$ 分别代表什么？
$k$ = 斜率，$b$ = 与 $y$ 轴交点。已知两点怎么求 $k$？
进阶提示：$k$ 的三种求法
完整参考
| 步骤 | 操作 | 结果 |
|---|---|---|
| 1 | 求 $k = \frac{9-3}{4-1}$ | $k = 2$ |
| 2 | 代入一点求 $b$ | $3 = 2 \times 1 + b$ → $b = 1$ |
| 3 | 解析式 | $y = 2x + 1$ |
| 4 | $k=2>0$ → 直线上升 | 过一、二、三象限 |
| 5 | $x$ 轴交点：令 $y=0$ | $x = -\frac{1}{2}$ |
核心链：两点 → $k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ → 代入求 $b$ → 完整解析式 → 画图
题干：$\triangle ABC$ 和 $\triangle DEF$ 中，$AB = DE$，$AC = DF$，$\angle A = \angle D$。
看到"全等三角形"，脑中立刻弹出什么？
| 判定方法 | 需要什么条件 | 你记的顺口溜 |
|---|---|---|
| ① ___ | ___ | ___ |
| ② ___ | ___ | ___ |
| ③ ___ | ___ | ___ |
| ④ ___ | ___ | ___ |
| ⑤ ___ | ___ | ___ |
提示1：全等三角形有几种判定方法？
数一数：SSS、SAS、ASA、AAS、HL（直角专用）。一共 5 种。
进阶提示：5种判定的关键
完整参考
| 判定 | 条件 | 易错点 |
|---|---|---|
| SSS | 三边等 | 要验证三对边 |
| SAS | 两边一夹角 | 必须是夹角，边边角(SSA)不行！ |
| ASA | 两角一夹边 | 夹边在中间 |
| AAS | 两角一对边 | 任意两角+任一边 |
| HL | 直角+斜边+直角边 | 仅限 Rt△ |
关键认知：SAS 的 A 必须是夹角。很多同学看到"两边一角"就写 SAS，但如果那个角不是夹角，全等根本不成立！
题干：$\triangle ABC$ 中，$D$ 在 $BC$ 上，$BD:DC = 2:3$。求 $S_{\triangle ABD}$ 与 $S_{\triangle ADC}$ 的比。
看到"面积比"，脑中弹出什么方法？
| 序号 | 你想到了什么 | 适用场景 |
|---|---|---|
| 1 | ___ | ___ |
| 2 | ___ | ___ |
| 3 | ___ | ___ |
提示1：$\triangle ABD$ 和 $\triangle ADC$ 有什么共同点？
两个三角形高相同（都是 $A$ 到 $BC$ 的距离），底不同（$BD:DC = 2:3$）。
进阶提示：等底等/同高的面积关系
完整参考
| 方法 | 公式 | 本题应用 |
|---|---|---|
| 同高模型 | $\dfrac{S_1}{S_2} = \dfrac{\text{底}_1}{\text{底}_2}$ | $S_{\triangle ABD}:S_{\triangle ADC} = 2:3$ |
| 相似模型 | $\dfrac{S_1}{S_2} = \left(\text{相似比}\right)^2$ | 用于相似三角形 |
| 等积变换 | 同底等高 → 面积相等 | 平行线之间 |
核心认知：看到面积比，先问：同高吗？同底吗？相似吗？ 三步走完，面积比出来。
题干：四边形 $ABCD$ 中，$AB \parallel CD$，$AB = CD$。
看到"平行四边形"，脑中弹出什么判定方法？
| 序号 | 判定方法 | 需要条件 |
|---|---|---|
| 1 | ___ | ___ |
| 2 | ___ | ___ |
| 3 | ___ | ___ |
| 4 | ___ | ___ |
| 5 | ___ | ___ |
提示1：从题干条件能直接推出什么？
$AB \parallel CD$ 且 $AB = CD$ → 一组对边平行且相等 → 平行四边形。这是一个判定。
但还有别的判定吗？
进阶提示：5种平行四边形判定
完整参考
| 序号 | 判定 | 条件 |
|---|---|---|
| 1 | 定义法 | $AB \parallel CD$ 且 $AD \parallel BC$ |
| 2 | 两组对边等 | $AB = CD$ 且 $AD = BC$ |
| 3 | 一组对边平行且等 | $AB \parallel CD$ 且 $AB = CD$ ← 本题 |
| 4 | 两组对角等 | $\angle A = \angle C$ 且 $\angle B = \angle D$ |
| 5 | 对角线互相平分 | $OA = OC$ 且 $OB = OD$ |
关键认知：判定平行四边形的核心是"平行 + 相等"的组合。 这 5 种判定背熟，见到哪种条件就用哪种。
| 条件 | 第一反应 | 核心知识链 |
|---|---|---|
| 中点坐标 | 横纵平均 | $M(\frac{x_A+x_B}{2}, \frac{y_A+y_B}{2})$ → 逆用 → 平行四边形 |
| 一次函数过两点 | $k = \frac{\Delta y}{\Delta x}$ | 两点 → 求 $k$ → 求 $b$ → 解析式 → 画图 |
| 全等三角形 | 5种判定 | SSS / SAS / ASA / AAS / HL → 找对应 |
| 面积比 | 同高→底比 | 同高？同底？相似？ → 三步走 |
| 平行四边形 | 5种判定 | 平行+相等 → 对应判定条件 |
条件触发的核心能力：看到一个字，脑中自动弹出 3-5 种方法。 今天重点：全等 5 种判定 + 平行四边形 5 种判定——10 个定理，张口就来！