题干：$\triangle ABC$ 中，$AD$ 平分 $\angle BAC$，交 $BC$ 于 $D$。
看到"角平分线"，你脑中自动弹出什么？
| 序号 | 你想到了什么方法/定理 | 能推出什么 |
|---|---|---|
| 1 | ___ | ___ |
| 2 | ___ | ___ |
| 3 | ___ | ___ |
提示1：角平分线最基础的性质是什么？
先想定义：把一个角分成两个相等的角。再想：角平分线上的点有什么特殊性质？
进阶提示：三条路
角平分线有三条常用推理路径：
完整参考
| 序号 | 方法 | 结论 |
|---|---|---|
| 1 | 角平分线定义 | $\angle BAD = \angle CAD$ |
| 2 | 角平分线性质 | $D$ 到 $AB$ 的距离 $=$ $D$ 到 $AC$ 的距离 |
| 3 | 角平分线比例定理 | $BD:DC = AB:AC$ |
| 4 | 结合全等 | 若再给 $AB = AC$ → $\triangle ABD \cong \triangle ACD$（SAS） |
关键认知：角平分线 $\neq$ 中线，也 $\neq$ 高线。三个概念要分清！
题干：$\triangle ABC$ 中，$\angle C = 90^\circ$。
看到"直角三角形"，你脑中弹出什么？
| 序号 | 你想到了什么 | 能推出什么 |
|---|---|---|
| 1 | ___ | ___ |
| 2 | ___ | ___ |
| 3 | ___ | ___ |
| 4 | ___ | ___ |
提示1：直角三角形自带了什么定理？
两个锐角有什么关系？三边之间有什么特殊关系？
进阶提示：直角三角形的武器库
完整参考
| 序号 | 方法 | 结论 |
|---|---|---|
| 1 | 直角三角形定义 | $\angle A + \angle B = 90^\circ$ |
| 2 | 勾股定理 | $AC^2 + BC^2 = AB^2$ |
| 3 | 斜边中线定理 | $CM = \frac{1}{2}AB$（$M$ 为 $AB$ 中点） |
| 4 | 锐角三角比 | $\sin A = \dfrac{BC}{AB}$，$\cos A = \dfrac{AC}{AB}$，$\tan A = \dfrac{BC}{AC}$ |
| 5 | 面积公式 | $S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC$（两直角边乘积的一半） |
核心链：直角 → 互余 + 勾股 + 斜边中线 + 三角比。看到直角等于看到了 4 个定理！
题干：已知二次函数 $y = ax^2 + bx + c$（$a \neq 0$）。
看到"二次函数"，脑中立刻弹出什么？
| 序号 | 你想到了什么 | 具体内容 |
|---|---|---|
| 1 | ___ | ___ |
| 2 | ___ | ___ |
| 3 | ___ | ___ |
提示1：看到 $y = ax^2 + bx + c$，第一反应看什么？
$a$ 的符号决定什么？不画图能不能知道顶点在哪里？
进阶提示：二次函数的关键要素
完整参考
| 序号 | 要素 | 求法 | 含义 |
|---|---|---|---|
| 1 | $a$ 的符号 | 看系数 | 开口方向 |
| 2 | 对称轴 | $x = -\frac{b}{2a}$ | 图像左右对称的轴 |
| 3 | 顶点 | 代入对称轴 | 最值点 $\frac{4ac-b^2}{4a}$ |
| 4 | $\Delta = b^2-4ac$ | 判别式 | $\Delta > 0$ 两个交点；$\Delta = 0$ 一个；$\Delta < 0$ 无 |
| 5 | $c$ | 常数项 | 与 $y$ 轴交点 $(0, c)$ |
| 6 | 最值 | $a>0$ 最小值；$a<0$ 最大值 | 在顶点处取得 |
核心链：二次函数 → 看 $a$ 定开口 → 求对称轴 → 找顶点 → 判断 $\Delta$ → 画图
题干：$\triangle ABC$ 中，$AB = AC$。
看到"等腰三角形"，脑中弹出什么？
| 序号 | 你想到了什么 |
|---|---|
| 1 | ___ |
| 2 | ___ |
| 3 | ___ |
提示1：等腰三角形最核心的性质是什么？
两条边相等 → 两个角相等。还有那条特殊的线——三线合一？
进阶提示：三线合一
在等腰 $\triangle ABC$（$AB = AC$）中，顶角 $A$ 的平分线、底边 $BC$ 的中线、底边 $BC$ 的高线——三条线是同一条！
完整参考
| 序号 | 方法 | 结论 |
|---|---|---|
| 1 | 等边对等角 | $\angle B = \angle C$ |
| 2 | 三线合一 | 顶角平分线 $=$ 底边中线 $=$ 底边高线 |
| 3 | 轴对称 | 等腰三角形关于顶角平分线对称 |
| 4 | 底边中点 | 若 $M$ 为 $BC$ 中点 → $AM \perp BC$ |
关键认知：等腰三角形的最强武器是三线合一。只要找到"两腰相等"，顶角平分线自动同时是中线和高！
题干：平面直角坐标系中，已知 $A(1,2)$，$B(5,4)$，动点 $P$ 在 $x$ 轴上运动。求 $PA + PB$ 的最小值及此时 $P$ 的坐标。
看到"动点 + 求线段和的最小值"，脑中弹出什么？
| 你的判断 | ___ |
|---|
提示1：$PA + PB$ 的最小值是什么类型的题目？
两个定点在同侧，动点在一条直线上，求距离之和最小——这是经典的什么模型？
进阶提示：将军饮马模型
"将军饮马"——作对称！将 $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'(1,-2)$，连接 $A'B$ 与 $x$ 轴的交点就是 $P$。此时 $PA + PB = PA' + PB = A'B$ 为最小值。
完整参考
| 步骤 | 操作 |
|---|---|
| 识别 | $A$、$B$ 在 $x$ 轴同侧，动点在 $x$ 轴上 → 将军饮马 |
| 作对称 | $A$ 关于 $x$ 轴的对称点 $A'(1,-2)$ |
| 连线 | 直线 $A'B$ 与 $x$ 轴的交点即为 $P$ |
| 求 $P$ | $A'(1,-2)$，$B(5,4)$ → 直线 $A'B$：解出与 $x$ 轴交点 |
| 最小值 | $PA + PB = A'B = \sqrt{(5-1)^2 + (4-(-2))^2} = \sqrt{16+36} = \sqrt{52}$ |
关键认知：同侧 → 作对称 → 连线 → 交点就是 $P$。将军饮马的核心就这一句话。
| 条件 | 第一反应 | 核心知识链 |
|---|---|---|
| 角平分线 | 角等 / 距离等 / 比例 | 角平分线 → 角等 + 到两边距离等 + $BD:DC = AB:AC$ |
| 直角三角形 | 勾股定理 | 直角 → 互余 + 勾股 + 斜边中线 + 三角比 |
| 二次函数 | $a$ 定开口 | 二次函数 → 对称轴 → 顶点 → $\Delta$ → 画图 |
| 等腰三角形 | 三线合一 | 等边对等角 → 三线合一 → 轴对称 |
| 动点+最值 | 将军饮马 | 同侧 → 作对称 → 连线 → 找交点 |
条件触发的核心能力：看到一个字，脑中自动弹出 3-5 种方法。 如果某个条件你只想到 1 种，说明这个条件的知识网络还不够密。