实战训练 — 2026-05-28

提示1：从周长反推边长

周长为 $24$ → $AB + BC = 12$。已知 $AB = 4\sqrt{2}$。可求 $BC$。

进阶提示：角平分线 + 垂直

$BE$ 平分 $\angle ABC$ 且 $AE \perp BE$。这是一个特殊的几何结构——角平分线配合垂线能推出什么？

完整解答

周长 $= 2(AB+BC) = 24$ → $AB+BC = 12$。

$AB = 4\sqrt{2}$ → $BC = 12 - 4\sqrt{2}$。

由 $BE$ 平分 $\angle ABC$ 且 $AE \perp BE$ → $\triangle ABE$ 是等腰直角三角形 → $AE = AB / \sqrt{2} = 4$。

面积 $= BC \times AE$（以 $BC$ 为底，$AE$ 为高）。

提示1：找规律

列出前几个点的坐标变化：$A(0,1) \to A_1(2,0) \to A_2(3,2) \to A_3(5,1) \to A_4(6,3)$。看 $x$ 坐标和 $y$ 坐标各自的变化规律。

进阶提示：分组观察

每两个点为一组：$(0,1) \to (2,0) \to (3,2) \to (5,1) \to (6,3)$。

$x$ 坐标：$0, 2, 3, 5, 6, 8, ...$ → 每两个数跳 2 再跳 1。

$y$ 坐标：$1, 0, 2, 1, 3, ...$ → 也在循环。

尝试用 $n$ 的奇偶性写出通项公式。

完整解答

$x$ 坐标规律：当 $n$ 为奇数时 $x_n = \frac{3n+1}{2}$，偶数时 $x_n = \frac{3n}{2}$。

$2025$ 是奇数 → $x_{2025} = \frac{3 \times 2025 + 1}{2} = 3038$。

$y$ 坐标规律：$y_n = \lfloor \frac{n+2}{2} \rfloor$（向上取整的变体）。

$y_{2025} = 1013$。

答案：C. $(3038, 1012)$

提示1：折叠 = 对称

折叠意味着 $CD = CD'$，$DE = D'E$。$C$ 是折痕的固定端点。

进阶提示：设未知数列方程

设 $AE = x$，则 $DE = 6 - x = D'E$。$D'$ 在 $AB$ 上，$CD' = CD = 4$。

在 $\triangle CBD'$ 中已知 $CB$ 和 $CD'$，可求 $BD'$。

再用 $D'$ 到 $E$ 和 $D'$ 到 $C$ 的距离关系列方程。

完整解答

设 $AE = x$，则 $DE = D'E = 6-x$，$CE$ 为折痕。

$D'$ 在 $AB$ 上，$CD' = CD = 4$。

在 $\triangle CBD'$ 中：$CB = 6$，$CD' = 4$，由勾股定理 $BD' = \sqrt{6^2 - 4^2} = 2\sqrt{5}$。

$\therefore AD' = AB - BD' = 4 - 2\sqrt{5}$。

在 $\triangle AD'E$ 中：$AD'^2 + AE^2 = D'E^2$。

解得 $AE = 2$。

提示1：证平行四边形

要证 $ADEF$ 是平行四边形，只需证 $AD = EF$ 且 $AF = DE$（或证对边平行）。

等边三角形的边都相等：$AD = AB$，$AF = AC$。试着证明 $EF = AB$ 和 $DE = AC$。

进阶提示：用全等三角形

$\triangle DBE \cong \triangle ABC$（$DB = AB$，$BE = BC$，$\angle DBE = \angle ABC + 60^\circ$）

→ $DE = AC = AF$。

同理 $\triangle FEC \cong \triangle ABC$ → $EF = AB = AD$。

两组对边分别相等 → 平行四边形。

完整解答

(1) 由 $\triangle DBE \cong \triangle ABC$（SAS）→ $DE = AC = AF$

由 $\triangle FEC \cong \triangle ABC$（SAS）→ $EF = AB = AD$

$\therefore AD = EF$ 且 $AF = DE$ → $ADEF$ 是平行四边形。

(2) 矩形条件：$\angle DAF = 90^\circ$ → $\angle BAC = 150^\circ$

菱形条件：$AD = AF$ → $AB = AC$（等腰三角形）

正方形条件：$\angle BAC = 150^\circ$ 且 $AB = AC$

提示1：平行线 + 折线 = 作平行线辅助线

经典模型——平行线间的折线。过折点作平行于已知平行线的辅助线，所有角都可以互推。

进阶提示：(1) 过C作平行线

已给出辅助线 $CF \parallel AB$，则 $AB \parallel CF \parallel DE$。利用内错角相等。

(2) 过 $E$ 作 $EF \parallel AB$。

(3) $E$ 在外部时的关系与内部时不同——注意角的方向。

完整解答

(1) $\angle B = \angle BCF$（内错角），$\angle E = \angle ECF$（内错角），

$\therefore \angle B + \angle E = \angle BCF + \angle ECF = \angle BCE$。

(2) 过 $E$ 作 $EF \parallel AB \parallel CD$。

$\angle AEF = \angle A = 30^\circ$，$\angle CEF = \angle C = 50^\circ$。

$\angle AEC = 30^\circ + 50^\circ = 80^\circ$。

(3) $E$ 在外部时：$\angle AEC = |\angle A - \angle C|$。

证明：过 $E$ 作 $EF \parallel AB \parallel CD$，

$\angle AEF = \angle A$（内错角），$\angle CEF = \angle C$（内错角）。

若 $E$ 在 $AB$ 上方，则 $\angle AEC = \angle AEF - \angle CEF = \angle A - \angle C$。